అన్నీ సైన్సులో ఉన్నాయి ష!

ఎపిసోడ్ 16: గణిత యోధుల అజ్ఞాత గాథ

ఆసక్తిగా చదువుతున్న పాఠకులు ఒక ప్రశ్న వేశారు. అది కూడా మన ప్రధాన లక్ష్యానికి అడ్డు రానిదే. అదేంటంటే, సమాన టెంపరమెంట్ గురించి ఇం‌కాస్త వివరంగా చెప్పమన్నారు. దీనిని గణితం ఆధారంగా కాస్త తెలుసుకుందాం.

సైమన్ స్టీవీన్ లక్ష్యం ఈ సిద్ధాంతాన్ని గణిత సూత్రాల ఆధారంగా స్థాపించడం, కాబట్టి దాని గణిత సూత్రాలు, సంగీతంలో దాని అనువర్తనాలను గురించి విడిగా తెలుసుకుందాం.

గణిత సూత్రాలు..

సమాన టెంపరమెంట్‌లో ఒక ఆక్టేవ్‌ను 12 సమాన సెమిటోన్‌లుగా విభజించడం జరుగుతుంది. ఒక ఆక్టేవ్ అంటే ఒక స్వరం ఫ్రీక్వెన్సీ రెట్టింపు అయ్యే దూరం(ఉదాహరణకు మిడిల్ C నుంచి తర్వాత వచ్చే C వరకు). దీని గణిత సూత్రం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

పౌనఃపున్య నిష్పత్తి (Frequency Ratio):

♦ ఒక సెమిటోన్ ఫ్రీక్వెన్సీ నిష్పత్తి( sqrt12{2}), (12th root of 2). దీని విలువ సుమారుగా 1.05946.

♦ ఒక ఆక్టేవ్ 12 సెమిటోన్‌లు ఉంటాయి. కాబట్టి 12 సెమిటోన్‌ల తర్వాత ఫ్రీక్వెన్సీ రెట్టింపు అవుతుంది: [(sqrt12{2})^{12} = 2]

ఫ్రీక్వెన్సీ లెక్కింపు:

మీరు ఒక స్వరం ఫ్రీక్వెన్సీ(f) అనుకుని, తదుపరి సెమిటోన్ ఫ్రీక్వెన్సీని లెక్కించాలనుకుంటే, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు. [f_{n+1} = f_n cdot sqrt12{2}]

ఇక్కడ (f_n) అనేది ప్రస్తుత స్వరం ఫ్రీక్వెన్సీ, ( f_{n+1}) అనేది తదుపరి సెమిటోన్ ఫ్రీక్వెన్సీ.

ఉదాహరణకు,

♦ మిడిల్ C(C4) ఫ్రీక్వెన్సీ సుమారుగా 261.63 Hz అనుకుందాం.

♦ తదుపరి సెమిటోన్ (C#4 లేదా Db4) యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ: [ f_{C#4} = 261.63 cdot sqrt12{2} approx 261.63 cdot 1.05946 approx 277.18, text{Hz}]

♦ ఇలా 12 సెమిటోన్ల తర్వాత (C4 నుంచి 5 వరకు), ఫ్రీక్వెన్సీ రెట్టింపు అవుతుంది: [f_{C5} = 261.63 cdot 2 approx 523.26, text{Hz}]

సెంట్స్(Cents) వ్యవస్థ:

సంగీతంలో ఫ్రీక్వెన్సీ తేడాలను కొలవడానికి “సెంట్స్” అనే యూనిట్ ఉపయోగిస్తారు. ఒక ఆక్టేవ్ 1200 సెంట్స్ ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, ఒక సెమిటోన్ 100 సెంట్స్‌కు సమానం. సమాన టెంపరమెంట్లో, ప్రతి సెమిటోన్ సమానంగా 100 సెంట్స్ ఉంటుంది. ఒక స్వరం నుంచి మరొక స్వరం వరకు సెంట్స్ లెక్కించడానికి: [text{Cents} = 1200 cdot log_2 left( frac{f_2}{f_1} right)]

ఇక్కడ ( f_1), (f_2) రెండు స్వరాల ఫ్రీక్వెన్సీలు.

సంగీత ఉదాహరణలు..

సమాన టెంపరమెంట్ అనువర్తనాన్ని సంగీతంలో బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణలు:

ఉదాహరణ 1: పియానో స్కేల్

పియానోలో, సమాన టెంపరమెంట్ వల్ల ప్రతి కీ(C, C#, D, D#, E, మొదలైనవి) సమాన ఫ్రీక్వెన్సీ నిష్పత్తితో ట్యూన్ చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, C మేజర్ స్కేల్(C, D, E, F, G, A, B)లోని స్వరాల ఫ్రీక్వెన్సీలు సమాన టెంపరమెంట్‌లో ఈ క్రింది విధంగా ఉంటాయి:

♦ C4: 261.63 Hz

♦ D4: (261.63 cdot (sqrt12{2})^2 approx 293.66, text{Hz} )

♦ E4: (261.63 cdot (sqrt12{2})^4 approx 329.63, text{Hz}) ఇలా కొనసాగుతుంది.

ఇది C మేజర్ స్కేల్‌ను C కీలో ఆడినా, G కీలో ఆడినా ఒకేలా శ్రావ్యంగా ఉండేలా చేస్తుంది. ఇది జస్ట్‌ ఇంటోనేషన్‌లో సాధ్యం కాదు.

ఉదాహరణ 2: బాచ్ The Well-Tempered Clavier

జాన్ సెబాస్టియన్ బాచ్ తన The Well-Tempered Clavier (1722)లో సమాన టెంపరమెంట్ సామర్థ్యాన్ని ప్రదర్శించాడు. ఈ రచనలో, అతను 12 మేజర్ కీలు, 12 మైనర్ కీలలో ప్రిలూడ్లు, ఫ్యూగ్లను రచించాడు. సమాన టెంపరమెంట్ లేకపోతే, ఈ కీలన్నీ ఒకే వాయిద్యంపై శ్రావ్యంగా ఆడటం కష్టం.

ఉదాహరణకు,

♦ C మేజర్లోని ప్రిలూడ్ సమాన టెంపరమెంట్‌లో శ్రావ్యంగా ఉంటుంది. అదే విధంగా F# మేజర్‌లోని ప్రిలూడ్ కూడా శ్రావ్యంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే స్వరాల మధ్య దూరం సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 3: కీ మార్పు(Modulation)

సమాన టెంపరమెంట్ కీ మార్పును సులభతరం చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక జాజ్ సంగీతకారుడు ఒక పాటను C మేజర్లో ప్రారంభించి, మధ్యలో G మేజర్ లేదా Eb మేజర్‌కు మారవచ్చు. సమాన టెంపరమెంట్ వల్ల ఈ మార్పు శ్రావ్యంగా సహజంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే అన్ని కీలు ఒకే ట్యూనింగ్ విధానంలో ఉంటాయి.

సమాన టెంపరమెంట్ vs జస్ట్ ఇంటోనేషన్..

జస్ట్ ఇంటోనేషన్‌లో, స్వరాల మధ్య ఫ్రీక్వెన్సీ నిష్పత్తులు సరళమైన పూర్ణాంకాలలో ఉంటాయి(ఉదా: 3:2 ఒక పర్ఫెక్ట్ ఫిఫ్త్ కోసం). ఇది కొన్ని కీలలో చాలా శ్రావ్యంగా ఉంటుంది. కానీ, ఇతర కీలలో స్వరాలు అసమతుల్యంగా ఉంటాయి. సమాన టెంపరమెంట్ ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది. కానీ, కొంత శ్రావ్యతను త్యాగం చేస్తుంది. ఉదాహరణకు:

♦ జస్ట్ ఇంటోనేషన్‌లో, C నుంచి G (పర్ఫెక్ట్ ఫిఫ్త్) నిష్పత్తి 3:2 (1.5). సమాన టెంపరమెంట్‌లో, ఇది ( (sqrt12{2})^7 approx 1.498 ) అవుతుంది. ఇది సరళమైన 3:2కి సమీపంగా ఉంటుంది. కానీ, ఖచ్చితంగా సమానం కాదు.

స్టీవీన్ గణిత మార్గం..

సైమన్ స్టీవీన్ తన రచనలలో(sqrt12{2}) గణిత లెక్కలను ఖచ్చితంగా వివరించారు. అతను ఈ నిష్పత్తిని ఉపయోగించి స్వరాల మధ్య ఫ్రీక్వెన్సీలను లెక్కించడం ద్వారా సమాన టెంపరమెంట్‌ను శాస్త్రీయంగా సమర్థించాడు. అతని గణిత ఆధారిత విధానం సంగీత ట్యూనింగ్‌ను గణిత సూత్రాలకు అందేలా మార్చింది. ఇది ఆధునిక సంగీత వాయిద్యాల రూపకల్పనకు దారితీసింది.

ప్రాక్టికల్ అనువర్తన..

♦ పియానో ట్యూనింగ్: ఒక పియానో ట్యూనర్ సమాన టెంపరమెంట్‌ను ఉపయోగించి ప్రతి స్వరాన్ని ఖచ్చితమైన ఫ్రీక్వెన్సీకి ట్యూన్ చేస్తాడు. ఉదాహరణకు, A4(440 Hz) నుంచి ప్రారంభించి, ప్రతి సెమిటోన్ ఫ్రీక్వెన్సీని( sqrt12{2}) ఆధారంగా లెక్కిస్తారు.

♦ సాఫ్ట్వేర్, సింథసైజర్లు: ఆధునిక డిజిటల్ సంగీత సాఫ్ట్వేర్లు(ఉదా, Logic Pro,  Ableton Live) సమాన టెంపరమెంట్‌ను డిఫాల్ట్ ట్యూనింగ్‌గా ఉపయోగిస్తాయి.

Apple వారి iDevicesలో కనిపించే గేరేజ్‌బ్యాండ్(Garrageband application) ఈ సమాన టెంపరమెంట్ ఆధారంగానే పని చేస్తుంది.

క్రిస్టోఫర్ క్లావియస్(Christopher Clavius, 1538-1612) ఒక సూయిత్(Jesuit) జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త, విద్యావేత్త. గ్రెగోరియన్ క్యాలెండర్ సంస్కరణలో కీలక పాత్ర పోషించిన వ్యక్తి. అతను కొలేజియో రొమానోలో గణిత శాస్త్ర అధ్యాపకుడిగా పనిచేశాడు. ఆధునిక శాస్త్రీయ విద్యలో గణితాన్ని ఒక సబ్జెక్టుగా ప్రవేశపెట్టడంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించాడు. అతని గురించి సాధారణంగా ఎక్కువమందికి తెలియని కొన్ని విశేషాలు ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం. ఈయన గురించి కూడా పాఠ్యపుస్తకాలలో ఎక్కడా ఉండదు. కాబట్టి ఎక్కువమందికి తెలియదు.

ఎవరికీ తెలియని అసలు పేరు: క్లావియస్ జర్మనీలోని బాంబెర్గ్‌లో 1538లో జన్మించాడు. కానీ, అతని అసలు(జర్మన్) పేరు కచ్చితంగా తెలియదు. అతను తనకు తానుగా లాటిన్ పేరు “క్లావియస్” (అంటే “కీ” అని అర్థం)ను స్వీకరించాడు. ఇది జర్మన్ పదం “Schlüssel“(కీ) లేదా “Clau/Klau” నుంచి ఉద్భవించి ఉండవచ్చు. ఇదొక మిస్టరీగా మిగిలిపోతుంది. అయినా కొందరు Schlussel అనేది ఆయనకు తల్లితండ్రులు పెట్టిన పేరని నమ్ముతారు. సైన్సుకు ఆధారాలు కావాలి కానీ నమ్మకం కాదు కదా. పైగా ఇంత గొప్ప శాస్త్రవేత్త తన పేరు క్లావియస్ అని తనకు తానుగా పెట్టుకున్నాక, ఆ పేరును గౌరవించాలి.

సూర్యగ్రహణం ద్వారా ప్రేరణ: 1560 ఆగస్టు 21న, క్లావియస్ పోర్చుగల్లోని కోయింబ్రాలో ఉండగా సూర్యగ్రహణాన్ని పరిశీలించాడు. ఈ సంఘటన అతన్ని గణితశాస్త్రం, ఖగోళ శాస్త్ర అధ్యయనానికి అంకితం కావటానికి ప్రేరేపించింది. ఈ అనుభవం అతని జీవితంలో ఒక కీలకమైన మలుపుగా పరిగణించబడుతుంది. టైకో బ్రాహే జీవితంలో కూడా కీలకమైన మలుపుకు ఈ సూర్యగ్రహణాన్ని పరిశీలించటమే. అందుకే వీరిని the sons of light in the age of scientific eclipses అనేవారు. అంటే శాస్త్ర జ్ఞానానికి గ్రహణం పట్టినరోజుల్లో వెలుగులు చిమ్మిన కాంతి పుత్రులు.

డెసిమల్ పాయింట్ ఉపయోగం: క్లావియస్ 1593లో తన Astrolabiumలోని గోనియోమెట్రిక్ టేబుల్స్ డెసిమల్ పాయింట్‌ను ఉపయోగించిన మొదటి వ్యక్తులలో ఒకడు, ఇది పాశ్చాత్య గణితంలో దీని మొదటి ఉపయోగాలలో ఒకటిగా పరిగణించబడుతుంది. ఇది సైమన్ స్టీవీన్ దశాంశ భిన్నాలపై పరిశోధనలకు మరింత ఊతం ఇచ్చిన వ్యవహారం. ఈయన స్టీవెన్‌లాగా వృత్తాలు కాకుండా డైట్‌ను వాడాడని చెప్తారు. కానీ, స్టీవెన్ స్థాయి కృషి చేయలేదనే చెప్పాలి. స్టీవీన్ తన De Thiende(1585)లో దశాంశ భిన్నాలను సిస్టమాటిక్‌గా ప్రవేశపెట్టాడు, కానీ క్లావియస్ డెసిమల్ పాయింట్ ఉపయోగించటం ఖగోళ గణనలలో కచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరిచింది.

గ్రెగోరియన్ క్యాలెండర్‌లో అభివృద్ధిలో పాత్ర: క్లావియస్ గ్రెగోరియన్ క్యాలెండర్ సంస్కరణకు ముఖ్యమైన సహకారం అందించాడని సాధారణంగా భావిస్తారు. కానీ, అతను సంస్కరణలను రూపొందించలేదు. అలోయిసియస్ లిలియస్ రూపొందించిన క్యాలెండర్ ప్రతిపాదనను సమీక్షించడానికి అతను వాటికన్ కమిషన్‌లో సభ్యుడిగా ఉన్నాడు. దానిని ఆమోదించటంలో చురుకైన పాత్ర పోషించాడు. ఆయన ప్రధానంగా ఆ సంస్కరణను వివరించి చెప్పి వాటికన్ ఆమోదముద్ర వేయటంలో కీలక పాత్ర పోషించాడు. ముఖ్యంగా తన రచనలైన Novi calendarii Romani apologia (1588), Romani calendarii a Grego- rio XIll restituti explicatio(1603) ద్వారా. గ్రెగోరియన్ క్యాలెండర్‌ ఉపయోగాలు ఎలాంటివో మనందరకూ తెలుసు.

గణిత విద్యా సంస్కరణలో పాత్ర: క్లావియస్ జెసూయిత్ విద్యావ్యవస్థలో గణితాన్ని ఒక కీలక విషయంగా చేర్చడానికి కృషి చేశాడు. గణితానికి ఒక శాస్త్రంగా అప్పటి వరకు తక్కువ ప్రాధాన్యత ఉండేది. ఆయన 1580లో Ordo servandus in addiscendis disciplinis mathematicis అనే పత్రంలో ఒక సంవత్సరం, రెండు– మూడు సంవత్సరాల గణిత కోర్సులతో కూడిన వివరణాత్మక కరికులమ్‌ను ప్రతిపాదించాడు. ఇందులో ఆప్టిక్స్, స్టాటిక్స్, ఖగోళ శాస్త్రం, శబ్దవిద్య ఉన్నాయి. వాటి అభివృద్ధిలో గణితం ఎలా ప్రధానపాత్ర పోషిస్తుందో తెలిపేలా ఆ కోర్సుల గురించి తెలియజేశాడు.

ఈ సంస్కరణ జెసూయిత్ కళాశాలలలో గణిత విద్యను బలోపేతం చేసింది. ఇది స్టీవీన్ డచ్ భాషలో శాస్త్రీయ రచనల ద్వారా జ్ఞానాన్ని సామాన్యులకు అందుబాటులోకి తెచ్చే ప్రయత్నానికి సమానమైన చర్య.

గలిలేవ్ గలిలియ్‌తో మైత్రి: క్లావియస్ గలిలేవ్(Galileo)తో స్నేహపూర్వక సంబంధాన్ని కలిగి ఉండేవాడు. వారు గణిత సిద్ధాంతాలు, వాటి రుజువుల గురించి తరచూ లేఖల ద్వారా చర్చించేవారు. 1611లో, గలిలేవ్ రోమ్‌కు వచ్చి క్లావియస్‌కు టెలిస్కోప్‌ను చూపించాడు. ఇది క్లావియస్‌ను ఆకట్టుకుంది. అయినప్పటికీ, అతను కోపర్నికన్ సిద్ధాంతాన్ని భౌతిక వాస్తవంగా అంగీకరించలేదు(నాటక భ్రమ – idol of theatre). కానీ గలిలేవ్ తన ఆలోచనలను సమర్థవంతంగా వివరించడంలో సహాయం చేయడానికి క్లావియస్ కొలేజియో రొమానో లాజిక్ కోర్సు నోట్స్‌ను పంచుకున్నాడని చెప్తారు.

వెర్నియర్ స్కేల్‌కు ముందున్న ఆవిష్కరణ: క్లావియస్ తన Geometria Practica

(1604)లో ఒక కొలమానం స్కేల్‌ను ఏదైనా చిన్న ఉపవిభాగాలుగా విభజించే పద్ధతిని వివరించాడు. ఇది నోనియస్ రూపొందించిన పద్ధతి కంటే మెరుగైనది. ఈ పద్ధతి వెర్నియర్ స్కేల్‌కు పూర్వగామిగా(Pre-cursor) పరిగణించబడింది. కొందరు ఈ కొలమాన పరికరానికి క్లావియస్ పేరు పెట్టాలని సూచించారు. ఇది స్టీవీన్ ఇంజనీరింగ్ ఆవిష్కరణలతో(ఉదా: విండ్మిల్ డిజైన్లు, సెయిలో బోట్) సమానంగా, కచ్చితమైన కొలతలలో నూతన ఆవిష్కరణలకు దోహదపడింది.

ఖగోళ శాస్త్ర పాఠ్యపుస్తకం: క్లావియస్ రచించిన Commentarius in Sphaeram Joannis de Sacro Bosco (1570) మధ్యయుగ ఖగోళ శాస్త్ర పాఠ్యపుస్తకం De Sphaeraపై ఒక వ్యాఖ్యానం. ఇది 1570 నుంచి 1618 వరకు కనీసం 16 ఎడిషన్లను కలిగి ఉంది. గలిలేవ్, కెప్లర్, టైకో బ్రహే వంటి శాస్త్రవేత్తలను ప్రభావితం చేసింది. అతను ఈ పుస్తకాన్ని ఏడు సార్లు సవరించాడు, ప్రతిసారీ దానిని విస్తరించాడు, ఇది ఆ కాలంలో అత్యంత ప్రభావవంతమైన ఖగోళ శాస్త్ర పాఠ్యపుస్తకాలలో ఒకటిగా నిలిచింది.

మూన్ క్రేటర్, కల్చరల్ రిఫరెన్స్: చంద్రుడిపై ఒక పెద్ద క్రేటర్‌కు క్లావియస్ పేరు పెట్టబడింది. ఇది 1651లో జెసూయిత్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త జియాంబట్టిస్టా రిక్సియోలి(Giambattista Marino) చేత పెట్టడం జరిగింది. అదనంగా, 2001: A Space Odyssey చలనచిత్రం, నవలలో చంద్రునిపై “క్లావియస్ బేస్” అనే స్థావరం ఉందని చూపటం/చెర్పటం అతని శాస్త్రీయ వారసత్వానికి ఒక సాంస్కృతిక నిదర్శనంగా నిలిచింది.

తప్పుడు పుకార్లు: క్లావియస్ గురించి అనేక తప్పుడు పుకార్లు ప్రచారంలో ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, అతను కార్డినల్‌గా నియమితుడయ్యాడని లేదా ఒక ఎద్దు దాడిలో మరణించాడని. ఈ పుకార్లు కాథలిక్ శాస్త్రవేత్తలను దెబ్బతీయడానికి చేసిన ప్రయత్నాలలో భాగంగా చూడాలి.

సైమన్ స్టీవీన్తో పోలిక..

♦ గణిత సంబంధం: స్టీవీన్ దశాంశ భిన్నాలను (De Thiende, 1585) ప్రవేశపెట్టాడు. ఇది ఆధునిక గణిత సూత్రాలను సులభతరం చేసింది. అయితే క్లావియస్ డెసిమల్ పాయింట్ను ఖగోళ గణనలలో ఉపయోగించాడు. ఇది కచ్చితత్వాన్ని మరింత మెరుగుపరచటానికి ఉపయుక్తమైంది. ఇద్దరూ గణిత సూత్రాల ఆవిష్కరణల ద్వారా శాస్త్రీయ పారామాణిక కొలతలలో కచ్చితత్వాన్ని పెంచారు.

♦ విద్యా సంస్కరణ: స్టీవీన్ డచ్ భాషలో శాస్త్రీయ రచనలను ప్రచురించడం ద్వారా జ్ఞానాన్ని సామాన్యులకు అందుబాటులోకి తెచ్చాడు. క్లావియస్ జెసూయిత్ విద్యా వ్యవస్థలో గణిత కరికులమ్‌ను ప్రవేశపెట్టాడు. లాటిన్‌లో రచనలు చేస్తూ విద్యావేత్తలకు జ్ఞానాన్ని అందించాడు.

♦ ఇంజనీరింగ్, ఆవిష్కరణలు: స్టీవీన్ విండ్మిల్ డిజైన్లు, సెయిల్ బోట్ వంటి ఇంజనీరింగ్ ఆవిష్కరణలకు ప్రసిద్ధి చెందాడు. అయితే క్లావియస్ కొలమాన స్కేల్ విభజన పద్ధతి, సన్ డయల్స్ రూపకల్పనలో పేరుపొందాడు.

♦ సంగీత సిద్ధాంతం: స్టీవీన్ సమాన టెంపరమెంట్ సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించాడు. ఇది ఆధునిక సంగీత ట్యూనింగ్‌కు పునాది వేసింది. కానీ, క్లావియస్ సంగీత సిద్ధాంతంలో ప్రత్యక్ష సహకారం అందించలేదు. అయినప్పటికీ అతని గణిత సూత్రాలు సమాన టెంపరమెంట్ గణిత ఆధారాలను అర్థం చేసుకోవడానికి దోహదపడ్డాయని చెప్పవచ్చు.

క్లావియస్‌కు, గలిలేవ్‌కు మధ్య ఉన్న స్నేహం గురించి తర్వాత ఎపిసోడ్‌లో తెలుసుకుందాం.